Question

已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点B和点D分别作直线l的垂线BM和DN，垂足分别为点M、点N，如果BM=5，DN=3，那么MN=________．

Answer 1

2或8
分析：根据正方形的性质得出∠NAD=∠MBA，再利用全等三角形的判定得出△ABM≌△ADN，进而求出MN的值，注意分类讨论．
解答：解：如图1，在正方形ABCD中，
∵∠NAD+∠BAM=90°，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠NAD=∠MBA，
在△ABM和△ADN中，
∵，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=DN=3，AN=BM=5，
∴MN=AM+AN=8，
如图2，在正方形ABCD中，
∵∠DAN+∠BAM=90°，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠NAD=∠MBA，
在△ABM和△ADN中，
∵，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM=DN=3，AN=BM=5，
∴MN=AN-AM=2，
综上所述：MN的值为2或8，
故答案为：2或8．
点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知正确画出图象进而得出两种情况是解题关键．