Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当方程有一实数根为1时，求m的值和另一根．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根，
∴△≥0，即（2m-1）²-4m²≥0，4m²-4m+1-4m²≥0，
∴m≤；
（2）把x=1代入方程得1+2m-1+m²=0，m²+2m=0，
∴m（m+2）=0，
∴m₁=0，m₂=-2，
当m=0，原方程变形为x²-x=0，x₁=1，x₂=0；
当m=-2，原方程变形为x²-5x+4=0，x₁=1，x₂=4；
∴m的值为0时，方程的另一根为0；m的值为-2时，方程的另一根为4．
分析：（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m-1）²-4m²≥0，解不等式即可得到m≤；
（2）根据一元二次方程的解的定义把x=1代入方程得到关于m的方程1+2m-1+m²=0，解得m₁=0，m₂=-2，然后分别把m的值代入原方程，再利用因式分解法求出另一个根．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．