Question

在平面直角坐标系xOy中，A（2，m），B（3，1），C（6，0），且点A在函数y=x的图象上，点P为x轴上一动点，当△OAP与△CBP的周长和最小时，点P的坐标为________．

Answer 1

（2.5，0）
分析：首先根据题意求出m的值，然后再平面直角坐标系根据A、B、C的坐标标出其位置，要求△OAP与△CBP的周长和最小，实际上就是求AP+BP的值最小，根据轴对称的性质就可以求出其结论．
解答：解：∵点A在函数y=x的图象上，且A（2，m），
∴m=1，
∴A（2，1），在平面直角坐标系中描出A、B、C三点，
∴△OAP与△CBP的周长和中OA，BC及OP+PC的和都是定值，
∴AP+BP最小就是△OAP与△CBP的周长和最小．
作B点关于x轴的对称点D，连接AD交x轴于点P，连接AB，
∵AB∥x轴，且x轴平分BD
∴x轴平分AD，DE=BE，
∴AP=PD，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AB，且AB=1，
∴PE=0.5
∴OP=2.5
∴P（2.5，0）．
故答案为：P（2.5，0）．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了点的坐标与解析式的关系，轴对称的性质的运用．三角形的中位线的性质及平行线等分线段定理的运用．