Question

已知A（-2，3），B（3，1），P点在x轴上，若PA+PB长度最小，则最小值为________；若PA-PB长度最大，则最大值为________．

Answer 1

    
分析：（1）找到B点关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，即可得到要求的P点，再根据一次函数的性质，找到各点的坐标，即可得出答案．
（2）根据三角形的性质，两边之差小于第三边，连接AB交x轴于点P，即可得到要求的P点，则可知AB的长度即为所求．
解答：（1）求最小值：如图所示：
，
作B点关于x轴的对称点B'，连接AB′，交x轴于点P，
∵B和B′对称，
∴PB=PB′，
∴AP+BP=PA+B′P，
根据两点之间线段最短可知P点为所求．
∵已知A（-2，3），B（3，1），
∴B′坐标为（3，-1），
则可求得最短距离为AB′的长度，AB′==，
∴PA+PB长度最小，则最小值为．
（2）求最大值：如图所示：
，
连接AB并延长，交x轴于点P，
任取一点P'，连接AP'、BP'，
在△ABP'中，根据三角形的性质，两边之差小于第三边，
即AP'-BP'＜AB，
∴可知AB为所求的最大值，
∵已知A（-2，3），B（3，1），
AB==，
∴若PA-PB长度最大，则最大值为．
点评：本题属于综合性的试题，包含了一次函数的应用、对称图形的性质、三角形的性质以及最大值最小值的求法．解决这类题目要求对于所学的各种知识点要能够融会贯通，达到“信手拈来”的地步．