Question

如图，在直角坐标系中，点P的坐标是（n，0）（n＞0），抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P．已知正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）求c，b并写出抛物线对称轴及y的最大值（用含有n的代数式表示）；
（2）求证：抛物线的顶点在函数y=x²的图象上；
（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；
（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接______写出n的取值范围．
（参考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-，）

Answer 1

解：（1）把x=0，y=0代入y=-x²+bx+c，得c=0．
再把x=n，y=0代入y=-x²+bx，
得-n²+bn=0．
∵n＞0，
∴b=n．
∴y=-x²+nx=-（x-）²+，
∴y的最大值为．
，（2）∵抛物线顶点为（，），
把x=代入y=x²=，
∴抛物线的顶点在函数y=x²的图象上．

（3）当x=2时，y=2n-4，
∴点N为（2，2n-4）．
当n=2时，P、N两点重合，△NPO不存在．
当n＞2时，解n（2n-4）=1，得n=1±．
∵n＞2，
∴n=1+．
当0＜n＜2时，解n（4-2n）=1，得n₁=n₂=1．
∴n=1+或n=1时，△NPO的面积为1．

（4）3≤n≤4．
分析：（1）把抛物线经过的两个点O点和P点的坐标代入解析式就可以求出c、b的值，从而也就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出对称轴和最大值．
（2）通过（1）的解析式表示出抛物线的顶点式，再代入y=x²的解析式，就可以证明抛物线的顶点在y=x²上．
（3）由点A、点D的坐标可以表示出N的坐标，再根据n的取值范围和三角形的面积建立等量关系求出n的值．
（4）由抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），分别把A（2，2），B（3，2），C（3，3），D（2，3）中的横、纵坐标代入抛物线解析式y=-x²+nx，得n=3；n=；n=4；n=．因此，n的取值范围是3≤n≤4．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求函数的解析式及三角形面积公式的运用．