Question

如图，⊙O的半径为6，点C在⊙O上，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB且点A、B在⊙O上，E、F是AB上两点（点E、F不与点A、B重合且点E在点F的右边），且AF=BE．
（1）判定四边形OECF的形状；
（2）当AF为多少时，四边形OECF为正方形？

Answer 1

解：（1）四边形OEFC为菱形，理由为：
连接OC，交AB于点D，
由折叠的性质得到OD=CD，OC⊥AB，
则D为AB的中点，即AD=BD，
∵AF=BE，
∴AD-AF=BD-BE，即FD=ED，
∴四边形OEFC为平行四边形，
∵FD=ED，OD⊥EF，
∴OE=OF，
则四边形OEFC为菱形；
（2）∵OD=DC=OC=3，
∴在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD==3，
要使四边形OEFC为正方形，必须FD=OD=3，
则此时AF=AD-FD=3-3．
分析：（1）四边形OECF为菱形，连接OC，交AB于点D，先由折叠的性质得到OD=CD，且OC垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，利用等式的性质得到FD=ED，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到OEFC为平行四边形，再由FD=ED，且OD垂直于EF，得到OE=OF，即可得到四边形OECF为菱形；
（2）四边形OEFC要为正方形，必须FD=ED=OD=CD，由半径求出OD的长，得到DF的长，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出AD的长，由AD-DF即可求出此时AF的长．
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．