Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于

 

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Answer 1

分析：作辅助线，延长BC至G，使DG∥AC，由AD∥BC，可知四边形ADGC为平行四边形，所以DG=AC，而等腰梯形中两对角线相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，则△DBG为等腰直角三角形，则可利用勾股定理求DG，又根据等腰直角三角形的性质可知DF=FG，再利用勾股定理可求得FG，从而得到FC=FG-AD=2，根据ADFE为矩形和等腰梯形的两腰相等可证△ABE≌△DCF，则BE=FC，则EF=BC-2FC=8-2FC=4，所以AE+EF=6+4=10．

解答：解：延长BC至G，使DG∥AC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADGC为平行四边形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
又∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG为等腰直角三角形，
∴BG²=2BD²
∴（BC+AD）²=2BD²
∴BD=DG=6

2

∵DF⊥BG，
∴DF=FG，
∴2DF²=（6

2

）²
∴DF=6，可得FC=6-4=2，
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD∥BC，
∴ADFE为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴EF=BC-2FC=8-2FC=4，
∴AE+EF=6+4=10．

点评：本题考查了矩形的性质和判定以及等腰梯形的性质和最基本辅助线作法，此题的关键是作辅助线，然后利用等腰梯形的性质和等腰直角三角形求解．