Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=2，点E是BC的中点，点P是对角线BD上的动点，则PE+PC的最小值是

1. A.
   2
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：根据等腰梯形的性质，得出BC的长度，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△ABE′为等边三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．
解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，连接AE，AC交BD于点P，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，AB=AD=2，点E是BC的中点，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=1，AF==，FC=3，
同理可得出：BC=AD+2=4，
∵BD是∠ABC的平分线．
作E关BD的对称点E′与A点重合，
则PE=PE′，
此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即为PE+PC的最小值．
∵∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE为正三角形，EE′=2，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′==2．
故选；C．
点评：此题考查了轴对称---最短路径问题，内容涉及等腰梯形的性质、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强．