Question

（2009•钦州）（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF；
（2）已知：如图2，⊙O₁与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O₁的纵坐标为．求⊙O₁的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AF=BE可知，AE=BF；再利用SAS可证出△ADE≌△CBF，得到DE=CF．
（2）作O₁C⊥AB于C，利用垂径定理和勾股定理可求出O₁A的长．
解答：（1）证明：∵AF=BE，EF=EF，∴AE=BF．   （1分）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC．                （3分）
∴△DAE≌△CBF．                       （4分）
∴DE=CF；（5分）

（2）解：过点O₁作O₁C⊥AB，垂足为C，
则有AC=BC．                                      （6分）
由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，∴AC=2．         （7分）
在Rt△AO₁C中，∵O₁的纵坐标为，
∴O₁C=．                                         （9分）
∴⊙O₁的半径O₁A==3． （10分）
点评：本题利用了三角形的判定和性质，还有垂径定理和勾股定理．