Question

如图，已知：△ABC和△EDC中，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED．点A、D在直线C的同侧．

（1）当B、C、E在同一直线上时，且∠BAC=60°（如图1）．则∠AFB=______°；
（2）将图1中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得到图2或图3．
①若∠BAC=α，则在图2中，求∠AFB（用含α的式子表示）；
②在图3中，图2中的结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，它等于什么？并写出推理过程．

Answer 1

解：（1）∠AFB=60°，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC，
=∠ACB，
∴∠AFB=60°；
故答案为60°；

（2）①∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=90°-α，
∴∠AFB=90°-α，
②图2中的结论不成立？若成立，它等于90°+α，
理由如下：
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，
=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α，
∴∠DCE=90°-α，
∴∠AFB=180°-（90°-α）=90°+α．
分析：（1）由题意易得△ABC∽△EDC，进一步证得△BCD∽△ACE，进而可得∠AFB=∠CBD+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=60°；
（2）①由前面步骤可得∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB=90°-α；
②与前面步骤相同，可求得∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED，代入数据求大小．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质；解题时应根据图形旋转的变化规律，探究两个角之间的数量关系．并且本题突出考查从特殊与一般的数学思想和实验研究的能力，让学生经历了动手操作、观察猜想、合情推理、归纳证明等全过程，题目的难度不小．