Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．

 

Answer 1

（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形　　　　　　　　　　　　　 ．

如图，

在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE．

∴ ∠EGO = 45°，从而 ∠AGE = 135°．

由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135°，∴ ∠AGE =∠EBF．

∵ ∠AEF = 90°，∴ ∠FEB +∠AEO = 90°．

在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90°，

∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE．

（2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．

由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．

∴ FH = OE，EH = OA．

∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a．

由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，∴ BH = FH = a．

又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a，

∴ EH = m－a + a = m．

又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾．

因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立．

（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a．

由 ∠AEF = 90°，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF，

∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，

且，即，

整理得 nh = ah + am－a²，∴ ．

把h =（t + 1）a 代入得 ，

即 m－a =（t + 1）（n－a）．

而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）．

化简得 ta = n，解得．

∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上．

∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．