Question

如图，在半圆O中，AB为直径，弦AP与BE相交于F，连接AE、BP，AP平分∠EAB．
（1）求证：△AEF∽△APB；
（2）若AE：AP=2：3，AF=4，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵在半圆O中，AB为直径，
∴∠AEB=∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角）．
又∵AP平分∠EAB，
∴∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB；

（2）∵△AEF∽△APB，
∴=．
又∵AE：AP=2：3，AF=4，
∴=，
∴AB=6，
∴⊙O的半径是AB=3．
分析：（1）利用“两个三角形的两个角对应相等”证得△AEF∽△APB；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式=，然后将已知条件代入该比例式即可求得⊙O的直径AB=6，则⊙O的半径是3．
点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．