Question

已知，如图，直线y=

3

2

x+

9

2

与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=

k

x

在第一象限内交于点C，S_△AOC=9．
（1）求S_△AOB；
（2）求k的值；
（3）D是双曲线y=

k

x

上一点，DE垂直x轴于E，若以O、D、E为顶点的三角形与△AOB相似，试求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）求出A、B两点的坐标，从而知道AO，BO的长度，三角形AOB又是直角三角形，所以面积可求；
（2）因为S_△AOC=9，AO的长已知，所以可求出AO边上的高，即点C的纵坐标，把求出的纵坐标代入直线y=

3

2

x+

9

2

，可得横坐标，所以可求出k的值；
（3）此小题要分类讨论①点D所在的象限不唯一②相似三角形不唯一．

解答：解：（1）∵直线y=

3

2

x+

9

2

与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴A点的坐标是（-3，0），B点的坐标是（0，

9

2

），
∴AO=3，BO=

9

2

，
∴S_△AOB=

1

2

×3×

9

2

，
∴S_△AOB=

27

4

；

（2）过点C作CF⊥AO于点F，
∵S_△AOC=9．
∴9=AO•CF×

1

2

，
∴CF=6，
即点C的纵坐标为6，把y=6，代入直线y=

3

2

x+

9

2

得，x=1，
∴C点的坐标为（1，6），
∴k=6×1=6；

（3）设D点的横坐标为x，则纵坐标为

6

x

，DE=

6

x

，
∴OE=x，DE=

6

x

，
①当△AOB∽△OED时，

AO

OE

=

BO

DE

，即

3

x

=

9 2

6 x

，
∴x=±2，∴y=±3，
∴D（2，3），（-2，-3）；
②当△AOB∽△DEO时，

AO

DE

=

BO

OE

，即

3

6 x

=

9 2

x

，
∴x=±3，∴y=±2，
∴D（3，2），（-3，-2）；
综上可知：D（2，3），（-2，-3），（3，2），（-3，-2）．

点评：本题考查了一次函数的图象和坐标轴围成的三角形的面积和一次函数和反比例函数交点以及相似三角形在函数图象中的运用，并且考查到了相似对应的不唯一性，题目难度不大，具有一定的综合性．