Question

如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=．
（1）求OD、OC的长；
（2）求证：△DOC∽△OBC；
（3）求证：CD是⊙O切线．

Answer 1

（1）解：∵AD、BC是⊙O的两条切线，
∴∠OAD=∠OBC=90°，
在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=，
根据勾股定理得：OD==，OC==；

（2）证明：过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC-BE=，
在Rt△EDC中，根据勾股定理得：DC==，
∵===，
∴△DOC∽△OBC；

（3）证明：过O作OF⊥DC，交DC于点F，
∵△DOC∽△OBC，
∴∠BCO=∠FCO，
∵在△BCO和△FCO中，
，
∴△BCO≌△FCO（AAS），
∴OB=OF，
则CD是⊙O切线．
分析：（1）由AB的长求出OA与OB的长，根据AD，BC为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOC都为直角三角形，利用勾股定理即可求出OD与OC的长；
（2）过D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证；
（3）过O作OF垂直于CD，根据（2）中两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形OCF与三角形OCB全等，由全等三角形的对应边相等得到OF=OB，即OF为圆的半径，即可确定出CD为圆O的切线．
点评：此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．