Question

如图，抛物线y＝x²＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(一1，0)．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)判断△ABC的形状，证明你的结论；

(3)点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM＋DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵点A(－1，0)在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴×(－1)2＋b×(－1)–2＝0，解得b＝ 　　∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2．y＝x2－x－2＝(x2－3x－4)＝(x－)2－， 　　∴顶点D的坐标为(，－)． 　　(2)当x＝0时y＝－2，∴C(0，－2)，OC＝2． 　　当y＝0时，x2－x－2＝0，∴x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0) 　　∴OA＝1，OB＝4，AB＝5． 　　∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20， 　　∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形． 　　(3)作出点C关于x轴的对称点，则(0，2)，O＝2，连接D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MD的值最小． 　　解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E． 　　∵ED∥y轴，∴∠OM＝∠EDM，∠OM＝∠DEM 　　∴△OM∽△DEM． 　　∴ 　　∴，∴m＝． 　　解法二：设直线D的解析式为y＝kx＋n， 　　则，解得n＝2，． 　　∴． 　　∴当y＝0时，， 　　．∴．