Question

如图，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点．

(1)求b、c的值；

(2)P为抛物线上的点，且满足S_△PAB＝8，求P点的坐标；

(3)设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与轴的两个交点分别为A(－1，0)，B(3，0) 　　∴　　(2分) 　　解之，得　　(4分) 　　∴所求抛物线的解析式为：y＝x2－2x－3 　　(2)设点P的坐标为(x，y)，由题意，得 　　S△ABC＝×4×|y|＝8　　(5分) 　　∴|y|＝4，∴y＝±4　　(6分) 　　当y＝4时，x2－2x－3＝4　　∴x1＝1＋，x2＝1－　　(7分) 　　当y＝－4时，x2－2x－3＝－4　∴x＝1　　(8分) 　　∴当P点的坐标分别为、、(1，－4)时，S△PAB＝8．　　(9分) 　　(3)解法1： 　　在抛物线y＝x2－2x－3的对称轴上存在点Q，使得ΔQAC的周长最小．　　(10分) 　　∵AC长为定值，∴要使ΔQAC的周长最小，只需QA＋QC最小． 　　∵点A关于对称轴x＝1的对称点是B(3，0)， 　　∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x＝1的交点　　(11分) 　　抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点C的坐标为(0，－3)，设直线BC的解析式为y＝kx－3． 　　∵直线BC过点B(3，0)　∴3k－3＝0　∴k＝1．　　(12分) 　　∴直线BC的解析式为y＝x－3　　(13分) 　　∴当x＝1时，y＝－2．∴点Q的坐标为(1，－2)．　　(14分) 　　(3)解法2： 　　在抛物线y＝x2－2x－3的对称轴上存在点Q，使得ΔQAC的周长最小．　　(10分) 　　∵AC长为定值，∴要使ΔQAC的周长最小，只需QA＋QC最小． 　　抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点C的坐标为(0，－3) 　　∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x＝1的交点．　　(11分) 　　∵OC∥DQ，∴ΔBDQ∽ΔBOC．　　(12分) 　　∴，即．∴DQ＝2．　　(13分) 　　∴点Q的坐标为(1，－2)．　　(14分)