Question

如图，在平面直角坐标系中，点P是经过点O（0，0）、A（0，2）、B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），请你回答：
（1）∠OAB=______度；
（2）∠OPB=______度；
（3）若设S_△OPB=S，则S的取值范围是______．

Answer 1

解：（1）在△OAB中，OA=OB；
∴△OAB是等腰直角三角形；
∴∠OAB=45°；

（2）当P在弦OB的上面时：∠OPB=45°，当P在OB的下边时：∠OPB=135°，
∴∠OPB的度数是45°或135°；

（3）设经过O、A、B三点的圆的圆心为C．
连接OC，过C作CD⊥OB于D，
则△CDB是等腰直角三角形，
∴CD=BD=1，BC=AC=OC=，
当S最大时，P点纵坐标的绝对值最大，为+1，
此时S=×2×（+1）=+1．
因此S取值范围是0＜S≤+1．
分析：（1）根据O、A、B的坐标就可以得到OA=OB，则△OAB是等腰三角形，可求出∠OAB的度数；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，以及圆内接四边形的对角互补．就可以求出∠OPB的度数；
（3）若设S_△OPB=S，则求S的取值范围实际就是求P点的纵坐标绝对值的最大值．
点评：本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．