Question

如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF＝32 cm．

(1)求证：AC∥BD；

(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°)；

(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122 cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．(参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器)

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据等角对等边得出∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)和∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)，进而利用平行线的判定得出即可； 　　(2)首先作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm，利用cos∠OEF＝0.471，即可得出∠OEF的度数； 　　(3)首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可． 　　解答：(1)证明：证法一：∵AB．CD相交于点O， 　　∴∠AOC＝∠BOD；1分 　　∵OA＝OC， 　　∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)， 　　同理可证：∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)， 　　∴∠OAC＝∠OBD，2分 　　∴AC∥BD，3分 　　证法二：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm， 　　∴OB＝OD＝85 cm， 　　∴；1分 　　又∵∠AOC＝∠BOD 　　∴△AOC∽△BOD， 　　∴∠OAC＝∠OBD；2分 　　∴AC∥BD；3分； 　　(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34 cm，EF＝32 cm； 　　作OM⊥EF于点M，则EM＝16 cm；4分 　　∴cos∠OEF＝0.471，5分 　　用科学记算器求得∠OEF＝61.9°；6分； 　　(3)解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；7分 　　在Rt△OEM中，＝30 cm；8分， 　　过点A作AH⊥BD于点H， 　　同(1)可证：EF∥BD， 　　∴∠ABH＝∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH， 　　∴；9分 　　所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122 cm＞晒衣架的高度AH＝120 cm． 　　解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；7分 　　同(1)可证：EF∥BD，∴∠ABD＝∠OEF＝61.9°；8分 　　过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中 　　， 　　AH＝AB×sin∠ABD＝136×sin61.9°＝136×0.882≈120.0 cm；9分 　　所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122 cm＞晒衣架的高度AH＝120 cm． 　　点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．

提示：

相似三角形的应用；解直角三角形的应用．