Question

如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．
（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．

Answer 1

解：如图，连接OE，OF．
（1）∵CD切半圆O于点E，
∴OE⊥CD，
∵BD为等腰直角△BCD的斜边，
∴BC⊥CD，∠D=∠CBD=45°，
∴OE∥BC，
∴∠ABC=∠AOE=60°，
∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15°
∴弧AG的度数=2∠ABG=30°，
∴量角器在点G处的读数α=弧AG的度数=30°；

（2）∵AB=10cm，
∴OF=OB=5cm，∠ABC=60°，
∴△OBF为正三角形，∠BOF=60°，
∴S_扇形=（cm²），S_△OBF=
∴S_阴影=S_扇形-S_△OBF=-．
分析：如图，连接OE，OF．
（1）利用切线的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定证得OE∥BC，则同位角∠ABC=∠AOE=60°，所以由图形中相关角与角间的和差关系即可得到∠ABG=15°；然后由圆周角定理可以求得量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）S_阴影=S_扇形-S_△OBF=-．
点评：本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理．求（2）题时，利用了“分割法”求得图中阴影部分的面积．