Question

已知正方形ABCD中，边长为4，E为AB边上的一动点，（E与A，B点不重合），设AE=x，以E为顶点的内接正方形的面积为y，求y与x的函数关系式，当x为何值时内接正方形的面积最小．

Answer 1

解：如图，
∵ABCD与EFGH均为正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D，EF=FG=GH=HE，
∠DHG+∠AHE=∠DHG+∠DGH=∠BEF+∠AEH=∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠GFC=90°，
∴∠AHE=∠DGH=∠GFC=∠BEF，
∴△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，
设AE=x，则BF=CG=DH=x，
BE=CF=DG=AH=4-x，
EF²=BE²+BF²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，
∴y=S_{正方形EFGH}=EF²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8≥8，
∴y与x的函数关系式为：y=EF²=2x²-8x+16，
当且仅当x=2，即E为AB中点时取最小值8．
分析：此题利用正方形的性质，求得△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，再利用勾股定理列出函数关系式就可以解决问题．
点评：此题考查利用正方形的性质、三角形全等及二次函数的最值解决问题．