Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点，其中b是大于零的常数．
（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；
（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；
（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）四边形DEFB是平行四边形．
证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，
∴DE∥AB，同理，EF∥OB，
∴四边形DEFB是平行四边形；

（2）解法一：∵S_△AOB=×8×b=4b，
由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，
∴=（）²，即S_△AEF=S_△AOB=b，同理S_△ODE=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；
解法二：如图，连接BE，S_△AOB=×8×b=4b，
∵E、F分别为OA、AB的中点，
∴S_△AEF=S_△AEB=S_△AOB=b，
同理S_△EOD=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，
即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，
①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形，
此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，
∴=，即OB²=OA•BC=8t，
在Rt△OBC中，OB²=BC²+OC²=t²+b²，
∴t²+b²=8t，
∴t²-8t+b²=0，
解得t=4±，
②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°，
∴四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4±，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形；
解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，
∵∠COB+∠AOB=90°，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠COB=∠OAB，
又∵∠ABO=∠OCB=90°，
∴Rt△OCB∽Rt△ABO，
∴=，即OB²=OA•BC，
又OB²=BC²+OC²=t²+b²，OA=8，BC=t（t＞0），
∴t²+b²=8t，
∴（t-4）²=16-b²，
①当16-b²≥0时，解得t=4±，此时四边形DEFB是矩形，
②当16-b²＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当16-b²≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4±，当16-b²＜0时，四边形DEFB不是矩形；
解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
在Rt△AMB中，AB²=AM²+BM²=b²+（8-t）²，
在Rt△OCB中，OB²=OC²+BC²=b²+t²，
在△OAB中，当AB²+OB²=OA²时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形，
∴b²+（8-t）²+b²+t²=8²，
化简得t²-8t=-b²，配方得（t-4）²=16-b²，其余同解法二．
分析：（1）四边形DEFB是平行四边形．利用DE、EF为△OAB的中位线证明平行四边形；
（2）根据DE、EF为△OAB的中位线可知，S_△AEF=S_△ODE=S_△AOB，利用S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE求S与b的关系式；
（3）当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根据相似比得OB²=OA•BC，由勾股定理得OB²=BC²+OC²，利用b、t分别表示线段的长，列方程求解．
点评：本题考查了平行四边形、矩形、相似三角形的判定与性质，一次函数及勾股定理的运用．本题综合性较强，需要熟练掌握特殊图形的性质，形数结合，运用代数方法解答几何问题．