Question

已知：抛物线经过坐标原点．

(1)求抛物线的解析式和顶点B的坐标；

(2)设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA＋PB最短，并求出点P的坐标；

(3)过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线经过坐标原点， 　　∴＝0．解得． 　　∵，∴ 　　∴　1分 　　∴．　2分 　　(2)令，得＝0， 　　解得． 　　∴　3分 　　∴点A关于轴的对称点的坐标为． 　　联结，直线与轴的交点即为所求点P． 　　可求得直线的解析式：． 　　∴　4分 　　(3)到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个． 　　如图，由勾股定理得，所以△PAC为等边三角形． 　　易证轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线．作∠PCA的平分线，交轴于点，交过A点的平行线于y轴的直线于点，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分线，交于点，反向延长C交轴于点．可得点就是到直线AP、AC、CP距离相等的点．可证△AP 、△AC、 △PC均为等边三角形．可求得：①，所以点M1的坐标为；　5分 　　②，所以点M2的坐标为；　6分 　　③点M3与点M2关于x轴对称，所以点M3的坐标为；　7分 　　④点与点A关于y轴对称，所以点的坐标为． 　　综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为，，，．　8分