Question

已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，其中A（1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①如图1，当△PBC面积与△ABC面积相等时，求点P的坐标；
②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点，对称轴为直线x=2，且A（1，0），
∴B（3，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
将C（0，-3）代入，得-3=3a，
解得：a=-1，
故抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；

（2）①当△PBC面积与△ABC面积相等时，分两种情况：
（i）当点P在直线BC的上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P₁．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵B（3，0），C（0，-3），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
∴设直线AP₁的解析式为y=x+n．
∵直线AP₁过点A（1，0），
∴1+n=0，解得n=-1．
∴直线AP₁的解析式为y=x-1．
解方程组，得，
∴点P₁的坐标为（2，1）；
（ii）当点P在直线BC的下方时，如图1．
设直线AP₁交y轴于点E，则E点坐标为（0，-1）．
把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P₂、P₃，得直线P₂P₃的解析式为y=x-5．
解方程组，得，
∴P₂的坐标为（，），P₃的坐标为（，）；
综上所述，点P坐标为：P₁（2，1），P₂（，），P₃（，）；

②∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°．
设直线CP的解析式为y=mx-3．
如图2，过点B作x轴的垂线，交CP于点Q．
∵∠ABC=45°，
∴∠CBQ=45°，
∴∠ABC=∠QBC，
又∵∠ACB=∠QCB，BC=BC，
∴△CAB≌△CQB，
∴AB=BQ=2，
∴点Q的坐标为（3，-2）．
∵直线CP过点Q（3，-2），
∴3m-3=-2，解得m=．
∴直线CP的解析式为y=x-3．
分析：（1）先由抛物线的对称轴为直线x=2，且过点A（1，0），根据抛物线的对称性得B的坐标为（3，0），则可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），再将C（0，-3）代入，可解得：a=-1，进而求出抛物线的解析式；
（2）①由于同底等高的两个三角形面积相等，所以当△PBC面积与△ABC面积相等时，将BC看作是底，那么这两个三角形BC边上的高相等．由于到一条直线距离相等的直线有两条，所以分两种情况进行讨论：（i）当点P在直线BC的上方时，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P₁，先运用待定系数法求出直线BC的解析式，则直线AP₁的比例系数与直线BC的比例系数相同，又直线AP₁过点A（1，0），运用待定系数法求出直线AP₁的解析式，再将它与抛物线的解析式联立，组成方程组，解方程组求出点P₁的坐标；（ii）当点P在直线BC的下方时，设直线AP₁交y轴于点E，则E点坐标为（0，-1），由于直线AP₁与直线BC的距离等于直线P₂P₃与直线BC的距离，所以容易求出直线P₂P₃的解析式，再将它与抛物线的解析式联立，组成方程组，解方程组求出点P₂、P₃的坐标；
②先由B、C两点的坐标可知OB=OC=3，则∠OCB=∠OBC=45°．设直线CP的解析式为y=mx-3．过点B作x轴的垂线，交CP于点Q，利用ASA证明△CAB≌△CQB，则AB=BQ=2，得到点Q的坐标为（3，-2），将它代入y=mx-3，运用待定系数法即可求出直线CP的解析式．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，两函数交点坐标的求法，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．