Question

如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，将一等腰直角三角板的锐角顶点与点D重合，边DE、DF分别交AB、BC于点M、N，旋转三角板DEF，当MN=5cm时，CN的长为________．

Answer 1

2或3
分析：把△ADM绕点D逆时针旋转90°得到△CGD，根据旋转的性质可得DM=DG，∠ADM=∠CDG，然后求出∠NDG=45°，从而得到∠NDG=∠MDN，再利用“边角边”证明△DMN和△DGN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=NG，求出MN=AM+CN，设CN=x，表示出BM、BN，然后在Rt△BMN中，利用勾股定理列出方程求解即可．
解答：解：如图，把△ADM绕点D逆时针旋转90°得到△CGD，
则DM=DG，∠ADM=∠CDG，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠MDN=45°，
∴∠NDG=∠CDN+∠CDG=∠CDN+∠ADM=90°-∠MDN=90°-45°=45°，
∴∠NDG=∠MDN，
在△DMN和△DGN中，，
∴△DMN≌△DGN（SAS），
∴MN=NG，
∴MN=AM+CN，
设CN=x，则BN=6-x，
∵MN=5，
∴AM=5-x，
BM=AB-AM=6-（5-x）=x+1，
在Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²，
即（x+1）²+（6-x）²=5²，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
所以，CN的长为2或3．
故答案为：2或3．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出MN=AM+CN，然后在Rt△BMN中，利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．