Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE//BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD。

（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由；
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径。

Answer 1

解：（1）在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C ∵DE∥BC， ∴∠ABC=∠E， ∴∠E=∠C 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠E；
（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线； 理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心； 又∵DE//BC，∴AD⊥ED，∴DE是⊙O的切线；
（3）连线BO、AO，并延长AO交BC于点F，则AF⊥BC，且BF=CF=3， 又∵AB=5，∴AF=4。 设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3， ∴，解得，∴⊙O的半径是。