Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，，现有两动点P、Q分别从D、C同时出发，P在线段DA上沿DA方向以每秒的速度匀速运动，Q在线段CD上沿CD方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△DPQ的面积S；
（2）四边形DPBQ的面积是否随着时间t的变化而变化？说明理由；
（3）当△DPQ与△PAB和△QPB都相似时，求tan∠DPQ的值．

Answer 1

解：（1）根据题意得，CQ=t，DQ=8-t，DP=t，AP=8-t，
∴S_△DPQ=•（8-t）•t=-t²+4t（0＜t＜8）；

（2）四边形DPBQ的面积不随着时间t的变化而变化，它等于32．理由如下：
∵S_{四边形DPBQ}=S_矩形ABCD-S_△BCQ-S_△ABP=8•8-•8•t-•8•（8-t）=32，
∴四边形DPBQ的面积不随着时间t的变化而变化；

（3）∵△PAB和△PDQ都为直角三角形，
而△DPQ与△PAB和△QPB都相似，
∴△QPB是直角三角形，
∴∠BPQ=90°，
∴∠QPD=∠PBA，
∴Rt△PDQ∽Rt△BAP，
∴DQ：AP=DP：AB，即（8-t）：（8-t）=t：8，
即t²-12t+32=0，解得t₁=4，t₂=8（舍去），
∴t=4，
∴DQ=4，DP=4，
∴tan∠DPQ==．
分析：（1）根据矩形的性质得CQ=t，DQ=8-t，DP=t，AP=8-t，再利用三角形的面积公式得到S_△DPQ=•（8-t）•t．
（2）利用S_{四边形DPBQ}=S_矩形ABCD-S_△BCQ-S_△ABP可求得它的面积=32．
（3）由△PAB和△PDQ都为直角三角形得到△QPB是直角三角形，分析题意只有∠BPQ=90°，则Rt△PDQ∽Rt△BAP，根据三角形相似的性质得到DQ：AP=DP：AB，即（8-t）：（8-t）=t：8，解出t即可得到DQ和DP，然后根据正切的定义即可得到tan∠DPQ的值．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了矩形的性质以及三角函数的定义．