Question

3．复习课中，教师给关于x的函数直线l：y=mx+n-1，教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①当n=5，m=-$\frac{4}{3}$时，原点到l的距离为3；
②当m=-1时，直线l与直线l₁：y=2x+4的交点在第二象限，则n的范围为-1≤n≤5；
③当m=n时，直线l经过定点（1，-1）；
④当m=n＜0时，直线1与x轴交于A点，OA的长度始终大于1．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．

Answer 1

分析 ①根据直线解析式求得直线与坐标轴的交点，进而运用面积法求得原点到l的距离；
②当m=-1时，直线l为y=-x+n-1，求得与y轴交于（0，n-1），再根据l与直线l₁的交点在第二象限，即可得出n-1的范围是-2＜n-1＜4，进而得到n的范围；
③当m=n时，直线l为y=mx+m-1，求得当x=-1时，y=-m+m-1=-1，进而得到直线l经过定点（-1，-1）；
④当m=n＜0时，直线l与x轴交于负半轴上的A点，求得当y=0时，0=mx+n-1，解得x=$\frac{1-n}{m}$，进而得到当m=n时，x=$\frac{1}{m}$-1，再根据m＜0，得到$\frac{1}{m}$-1＜-1，即点A离原点的距离大于1，即可得出OA的长度始终大于1．

解答 解：①当n=5，m=-$\frac{4}{3}$时，直线l为：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴直线l与坐标轴分别交于（3，0）和（0，4），
∴原点到l的距离为$\frac{12}{5}$，故结论①错误；
②当m=-1时，直线l为y=-x+n-1，与y轴交于（0，n-1），
直线l₁：y=2x+4与坐标轴交于（-2，0），（0，4），
∵l与直线l₁的交点在第二象限，
∴n-1的范围是：-2＜n-1＜4，
∴n的范围为-1＜n＜5，故结论②错误；
③当m=n时，直线l为y=mx+m-1，
∴当x=-1时，y=-m+m-1=-1，
∴直线l经过定点（-1，-1），故结论③错误；
④当m=n＜0时，直线1经过第二三四象限，
∴直线l与x轴交于负半轴上的A点，
∴当y=0时，0=mx+n-1，
解得x=$\frac{1-n}{m}$，
当m=n时，x=$\frac{1}{m}$-1，
又∵m＜0，
∴$\frac{1}{m}$-1＜-1，即点A离原点的距离大于1，
∴OA的长度始终大于1，故结论④正确．
综上所述，①②③错误，④正确．

点评 本题属于两直线相交或平行的问题，解决问题的关键是掌握一次函数的图象与性质，解题时注意：一次函数y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，与x轴的交点坐标是（-$\frac{b}{k}$，0），与y轴的交点坐标是（0，b）．