Question

已知二次函数y=（x-1）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使P、A、C能组成以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）当x=0时y=（-1）×（-4）=4
∴C的坐标（0，4）
当y=0时设（x-1）（x-4）=0
解得x₁=1 x₂=4
∵A在B的左边
∴A（1，0）B（4，0）…（2分）

（2）∵C（0，4）、A（1，0）、B（4，0）
∴OC=4 AB=3
∴S_△ABC=OC•AB=6 …（4分）

（3）存在．
设点P的坐标为（0，y），
由（2）知OC=4，OA=1
在RT△AOC中AC=
∴C为顶角的顶点时，则CP=AC，
即
解得
∴当P为（0，）或（0，）时P、A、C组成的AC为腰的等腰△…（6分）
∴A为顶角的顶点时，则AC=AP
∵OA⊥PC
∴OC=OP …（8分）
即|y|=4，
解得y₁=-4，y₂=4（舍去）
∴当P（0，-4）时P、A、C组成了以AC为腰的等腰△…（8分）
综上所述当P的坐标为（），（），（0，-4）时是P、A、C组成了以AC为腰的等腰△…（9分）
分析：（1）令x=0，代入二次函数求得y的值作为与y轴交点坐标的纵坐标，将y=0代入二次函数求得x的值作为与x轴交点的横坐标；
（2）利用上题求得的与坐标轴的交点坐标得到OC=4、AB=3，就可以求S_△ABC；
（3）假设存在．设点P的坐标为（0，y），分C为顶角的顶点时和A为顶角的顶点时两种情况求得点P的坐标即可．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是正确的求出抛物线与坐标轴的交点坐标，这是下一步做题的基础．