Question

已知：如图，在△ABC中，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在边AC上的点D处，点F在线段AE的延长线上，如果∠FCA=∠B=2∠ACB，AB=5，AC=9．
求：（1）的值；
（2）CE的值．

Answer 1

解：（1）∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在边AC上的点D处，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，AB=AD=5，
∵∠FCA=∠B，
∴∠FCA=∠ADE，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△ACF，
∴==，
∴=；

（2）∵∠FCA=2∠ACB，
∴∠ACE=∠FCE．
∵DE∥CF，
∴∠DEC=∠FCE，
∴∠ACE=∠DEC，
∴DE=DC=AC-AD=9-5=4，
∵△ABE≌△ADE，
∴BE=DE=4，∠BAE=∠DAE，
∴=，=，
解得CE=．
分析：（1）先由折叠的性质得出△ABE≌△ADE，则∠B=∠ADE，AB=AD=5，再由∠FCA=∠B，得到∠FCA=∠ADE，判定DE∥CF，则△ADE∽△ACF，根据相似三角形对应边成比例得到==，即可求出的值；
（2）先由已知条件及平行线的性质得出∠ACE=∠DEC，根据等角对等边得到DE=DC=4，再由△ABE≌△ADE，得出BE=DE=4，∠BAE=∠DAE，然后由角平分线的性质得到=，将数值代入，即可求出CE的值．
点评：本题考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．