Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值．

Answer 1

证明：（1）连接OD，

∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵AB=AC，
∴∠OCD=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AB⊥EF；
（2）连接AD、CG，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∵AB⊥EF，
∴DE∥CG，
∴∠F=∠GCA，
∵AB=AC，
∴DC=BC=5，
Rt△ADC中，AD==12，
∵S_△ABC=AD•BC=AB•CG，
∴CG==，
在Rt△CGA中，cos∠GCA==，
∴cos∠F=．
分析：（1）连接OD，由EF为圆O的切线，利用切线的性质得到OD与EF垂直，又OD=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB=AC，根据等边对等角得到另一对角相等，等量代换可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得出OD与AB平行，由与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，即可得证；
（2）连接AD，CG，由AC为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ADC与∠AGC都为直角，又FE垂直与AB，且CG垂直与AB，可得出GC与EF平行，根据两直线平行同位角相等可得出∠F=∠ACG，由AB=AC，AD垂直与BC，根据三线合一得到D为BC的中点，由BC的长求出DC的长，在直角三角形ADC中，由DC及AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再根据三角形ABC的面积由AD与BC乘积的一半来求，也可以由AB与CG乘积的一半来求出，两者相等可得出GC的长，由∠ACG的邻边GC与斜边AC的比值求出cos∠ACG的值，即为cos∠F的值．
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．