Question

正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）。

（1）如果M为CD边的中点，计算DE：EM；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示。若无关，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°
∴DE²+DM²=EM²

x=
EM=
DE：EM=3：5；
（2）△CMG的周长与点M的位置无关
证明：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y
∵∠EMG=90°
∴∠DME+∠CMG=90度
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
又∵∠D=∠C=90°
∴△DEM∽△CMG


△CMG的周长为CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay
∴CM+MG+CG=
所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关。