Question

如图所示，已知正方形ABCD中，P是BD上任意一点，PE⊥BC，垂足为E点，PF⊥CD垂足为F，求证：AP⊥EF．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：如图所示，连接PC，设PC与EF交于O，延长AP交EF于H． 因为PE⊥BC于E点，PF⊥DC于F点， 所以∠PEC=∠PFC=90° 因为正方形四个角都为直角，∠ECF=90°， 所以四边形FCEP是矩形， 所以OE=OF=OC=OP，∠FPE=90°， 所以∠2=∠3． 因为BD是正方形ABCD的对角线， 所以A、C关于BD成轴对称点， 所以△ABP与△CBP关于BD成轴对称， 所以∠3=∠1，所以∠2=∠1． 因为PE⊥BC，∠ABC=90°， 所以PE∥AB(同位角相等，两直线平行)， 所以∠4=∠1，所以∠4=∠2， 所以∠4＋∠FPH=∠2＋∠FPH=90°， 所以∠PHF=90°，所以AP⊥EF．

提示：

要证AP⊥EF，需证AP与EF所成的角为90°，所以应延长AP交EF于H，如图，证∠PHF=90°．