Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，点O在斜边AB上，以OB的长为半径的⊙O与BC交于点D，且AD与⊙O相切于点D．
（1）求证：∠CAD=∠ABC；
（2）若tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质可得∠ADO=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余以及等腰三角形的性质即可证得；
（2）设AB与圆相交于点E，连接DE，设DE=x，利用△BDE∽△BCA，相似三角形的对应边的比相等即可列方程求得x的值，进而求得半径．

解答 解：（1）证明：连接OD．
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AD，即∠ADO=90°．
∴∠ADC+∠ODB=90°，
又∵Rt△ACD中，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠ODB，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠CAD=∠ABC；
（2）设AB与圆相交于点E，连接DE．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠EDB=90°，
∴AC∥DE，
∴△BDE∽△BCA，
∵∠CAD=∠ABC，且tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴设DE=x，则BD=$\sqrt{2}$x，
∴BE=$\sqrt{D{E}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$x．
∴CD=BC-BD=2-$\sqrt{2}$x．
在Rt△ACD中，tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{2-\sqrt{2}x}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则AC=2$\sqrt{2}$-2x．
∵△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{x}{2\sqrt{2}-2x}$=$\frac{\sqrt{2}x}{2}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则半径是$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似的三角形是关键．