Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且BD∥CO．
（1）求证：△ADB∽△CBO；
（2）若AB=2，BC=，求AD的长（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AB为圆O的直径，根据圆周角定理得到∠D为90°，又BC为圆O的切线，根据切线性质得到∠CBO=90°，进而得到这两个角相等，又DB与OC平行，根据两直线平行，得到一对内错角相等，从而利用两角对应相等的两三角形相似即可得证；
（2）设AD=x，在直角三角形ADB中，由AB和设出的AD，利用勾股定理表示出DB，再根据半径OB等于直径AB的一半求出OB，然后由（1）得到的相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值即为AD的长．
解答：（1）证明：∵AB为圆O的直径，
∴∠D=90°，
又BC是圆O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=∠ABC，
又DB∥OC，
∴∠ABD=∠COB，
∴△ADB∽△CBO；

（2）解：设AD=x，
在直角三角形ABD中，由AB=2，AD=x，
根据勾股定理得：DB=，
由（1）得到△ADB∽△CBO，又BO=AB=1，
∴=，即=，
两边平方化简得：x²=，
解得：x=，
则AD=．
点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．对于第一问这样的几何证明题，要求学生多观察，多分析，根据题意选择合适的判定方法；第二问的突破点在于利用勾股定理表示出BD，借助第一问的相似得比例．数形结合及方程的思想都是数学中常用的重要思想．