Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求阴影部分的面积；
（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ=k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）由抛物线经过A（-1，0），B（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），
将C（0，-4）代入上式中，得-4a=-4，a=1．
∴y=（x+1）（x-4）=x²-3x-4．

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）．
∴OB=OC=4，OA=1
∴∠OBC=45°，∴∠AMC=90°
∴AM²+MC²=OA²+OC²=1²+4²=17
∴AM²=CM²=，
∴S_阴影==π．

（3）∠OBC=45°，PQ⊥x轴；
∴BP=PQ=k，
∴S=k•（4-k）=-k²+2k．
∴当k=2时，Smax=2．
分析：（1）已知了A、B、C三点坐标可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）要求扇形的面积需要知道半径的长和扇形的圆心角的度数，先求圆心角∠AMC的度数，由于OB=OC，因此∠ABC=45°，根据圆周角定理可得出∠AMC=90°．再求半径，由于三角形AMC是等腰直角三角形，因此半径的平方等于AC的平方的一半，可在直角三角形OAC中求出AC的平方，据此可根据扇形的面积公式求出扇形的面积．
（3）求三角形CPQ的面积可以PQ为底，以OP为高，已知了PQ=k，在等腰直角三角形BPQ中，BP=PQ=k，也就能表示长OP的长，据此可求出S与k的函数关系，根据函数的性质即可求出S的最大值．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、扇形面积计算公式、等腰直角三角形的性质等知识．