Question

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（-8，0），点N的坐标为（-6，-4）。

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC，图“略”； ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称， ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）； （2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为， ∵抛物线过点A（0，4）， ∴c=4，则抛物线关系式为， 将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得 ，解得，所求抛物线关系式为：； （3）∵OA=4，OC=8， ∴AF=4-m，OE=8-m， ∴= OA（AB+OC）-AF·AG-OE·OF-CE·OA ==（0＜＜4）， ∵， ∴当m=4时，S取最小值， 又∵0＜m＜4， ∴不存在m值，使S取得最小值； （4）当时，GB=GF，当m=2时，BE=BG。