Question

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠B=30°，∠C=45°，AC=4．求BC的长和tan∠ADC的值．

Answer 1

解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在Rt△AEC中，
∵AC=4，
∴cos∠C=，即cos45°=，
∴EC=4×cos45°=2，
又∵∠C=45°，
∴AE=EC=2，
在Rt△AEB中，
tan∠B=，即tan30°=，
∴BE==2，
∴BC=BE+EC=2+2，
∴DE=DC-EC=BC-EC=（2+2）-2=-，
∴tan∠ADC===+1．
分析：首先作AE⊥BC，构建直角三角形，然后根据直角三角形特殊角的三角函数，即可推出EC和AE的长度，再根据∠B的正切值推出BE的长度，既而推出BC和C、BD的长度，便知DE=DC-EC=BC-EC=，根据正切的定义，即可推出tan∠ADC的值．
点评：本题主要考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，关键在于根据题意作出辅助线构建直角三角形，推出AE，DE的长度．