Question

如图，直线y=ax+b与双曲线交于点A、B，与x轴交于点C，AD⊥x轴于点D，且cos∠AOC=，AD=6，S_△ABD=2S_△AOD．
（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）在Rt△AOD中，cos∠AOC=，
设OD=m，则OA=m，又AD=6，
根据勾股定理得：OA²=OD²+AD²，即（m）²=m²+6²，
解得：m=2，
∴A（2，6），
将A的坐标代入反比例解析式得：6=，
解得：k=12，
则反比例解析式为y=；
过B作BE⊥AD，交AD于点E，
设B的横坐标为n，则BE=n-2，
∴S_△ABD=×6×（n-2），S_△AOD=×2×6=6，且S_△ABD=2S_△AOD，
∴×6×（n-2）=12，
解得：n=6，
将x=6代入反比例解析式得：y=2，
∴B坐标为（6，2），
将A和B坐标代入y=ax+b得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=-x+8；

（2）过B作BF⊥y轴，交y轴于点F，
∵A（2，6），B（6，2），
∴AD=6，OD=2，BF=2，OF=6，DF=OF-OD=6-2=4，
则S_△AOB=S_△AOD+S_梯形ABFD-S_△BOF
=AD•OD+（BF+AD）•DF-BF•OF
=×2×6+×（2+6）×4-×2×6
=16．
分析：（1）在Rt△AOD中，由cos∠AOC的值，利用锐角三角函数定义，设OD=m，则有OA=m，再由AD的长，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，过B作BE垂直于AD，设B横坐标为n，由OD的长为2，用n-2表示出BE，进而由AD为底，BE为高，表示出△ABD的面积，再求出△AOD的面积，根据△ABD的面积等于2△AOD的面积列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，即为B的横坐标，将B的横坐标代入反比例解析式中求出B的纵坐标，确定出B的坐标，将A和B两点坐标代入直线y=ax+b中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）连接OB，过B作BF垂直于x轴，由A和B的坐标求出AD、OD、BF、OF的长，由△AOB的面积=△AOD的面积+梯形ABFD的面积-△OBF的面积，求出即可．
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，坐标与图形性质，以及待定系数法求函数解析式，待定系数法是数学中常用的解题方法，学生做题要灵活运用．