Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=S_△ABC；④EF=AP．上述结论始终正确的有________（填写序号）

Answer 1

①②③
分析：根据等腰直角三角形的性质得：AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确．
解答：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE与△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四边形AEPF}=S_△ABC，①②③正确；
而AP=BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，
∴故④不成立．
故始终正确的是①②③．
故答案为：①②③．
点评：本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．