Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°﹣α．①用含α的代数式表示∠APC；②求证：∠BAP=∠PCB；③求∠PBC的度数．

Answer 1

①解：∵AB=AC，∠BAC=α，PC=AC，
∴∠CPA=∠CAP，∠BCA=∠ABC，
∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，
∴∠CPA=∠CAP=（180°﹣∠ACP）÷2=（60°+α）÷2=30°+，
②证明：∵∠BAP=∠BAC﹣∠CAP，∠BAC=α，∠CAP=30°+，
∴∠BAP=∠BAC﹣∠CAP=α﹣（30°+）=﹣30°，
∴∠BCA=∠ABC=（180﹣a）÷2=90°﹣，
∴∠PCB=∠BCA﹣∠ACP=90﹣﹣（120°﹣α）=﹣30°，
∴∠BAP=∠PC，
③解：分别延长CP、AP交BC于F点，交AB于E点，
∵∠BAP=∠PCB，
∴∠PFB=∠PEB，
∴A，E，F，C四点共圆，
∴∠EFB=∠BAC=α，∠EFA=∠ECA，∠FEC=∠CAF，
∴BF=EF，EF=PF，
∴BF=PF
∴∠AFC=∠ABC+∠BAF=90°﹣+﹣30°=60°，
∴∠PBC=∠BPF=30°．