Question

已知△ABC，AB=BC，∠ABC=90゜，E为直线BC上一点，EF⊥AE且EF=AE，连CF．（1）如图1，若点E在线段BC上，求∠FCE的度数；
（2）如图2，若点E在CB的延长线上，求∠FCE的度数；
（3）如图3，若点E在BC的延长线上，完成作图，并直接写出∠FCE=45゜．

Answer 1

解：（1）如图1，过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于M，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠MEF，
在△ABE和△EMF中，，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=MF，AB=EM，
∵AB=BC，
∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE，
∴CM=MF，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴∠FCM=45°，
∴∠FCE=180°-∠FCM=180°-45°=135°；

（2）如图2，过点F作FM⊥BC于M，
与（1）思路相同可证△CMF是等腰直角三角形，
所以，∠FCE=45°；

（3）如图3，过点F作FM⊥BC，交CB的延长线于M，
与（1）思路相同可证△CMF是等腰直角三角形，
所以，∠FCM=45°，
即∠FCE=45°．
分析：（1）过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于M，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠MEF，然后利用“角边角”证明△ABE和△EMF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=MF，AB=EM，然后求出CM=MF，从而求出△CMF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠FCM=45°，然后根据平角的定义求出∠FCE=135°；
（2）过点F作FM⊥BC于M，与（1）的求解思路相同可得△CMF是等腰直角三角形，然后解答即可；
（3）过点F作FM⊥BC，交CB的延长线于M，与（1）的求解思路相同可得△CMF是等腰直角三角形，然后解答即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，此类题目往往后面小题的求解思路与第（1）小题的求解思路相同，做题时要根据具体题目灵活运用．