Question

如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）．
（1）求a的值及直线AC的函数关系式；
（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．
①求线段PM长度的最大值；
②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）点C（-2，6）在抛物线y=a（x+3）（x-1）上
得6=a（-2+3）（-2-1）
∴a=-2
∴抛物线的函数解析式为y=-2（x+3）（x-1）
由题意得抛物线与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有
0=k+b
6=-2k+b
解得k=-2，b=2
∴直线AC的函数解析式为y=-2x+2

（2）①设P的横坐标为m（-2≤m≤1），则M的横坐标是m．
P（m，-2m+2），M（m，-2m²-4m+6）
∴PM=-2m²-4m+6-（-2m+2）=-2m²-2m+4=
∴当m=-时，PM的最大值为
②存在，
∵∠CPM=∠APN
若∠CMP=∠ANP=90°
如图1，则点M的纵坐标为6，
6=-2（x+3）（x-1），
x²+2x=0，
x（x+2）=0，
x₁=0，x₂=-2（舍），
则点M的坐标为（0，6），
如图2，若∠PCM=∠ANP=90°，
过点C作与AC垂直的直线，则直线CM为：y=（x+2）+6，
联立y=（x+2）+6与y=-2（x+3）（x-1），
（x+2）+6=-2（x+3）（x-1），
4x²+9x+2=0，
（x+2）（4x+1）=0，
x=-2（舍）或 x=-，
当x=-时，y=-2×（-+3）×（--1）=，
则点M的坐标为M（-，），
故M₁（0，6）、M₂（，）
分析：（1）c在抛物线上，将c代入解析式，就可求出a的值；A是抛物线与x轴的坐标，根据抛物线求出A点坐标，由A、C两点坐标，利用待定系数法，可求出直线AC的函数关系式．
（2）设出p点的横坐标m，p在直线上，然后用横坐标m表示出p点的坐标，M与P的横坐标相同，且M在抛物线上，同样可用m表示出M点坐标，然后求出线段PM，最后根据PM长度的关系式判断m为何值时，线段最长．
点评：本题综合考查了二次函数的与直线相交下，交点问题的计算，以及线段最长最短问题，三角形问题等．