Question

已知抛物线抛物线y_n＝－(x－a_n)²＋a_n(n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n)与x轴的交点为A_n－1(b_n－1，0)和A_n(b_n，0)，当n＝1时，第1条抛物线y₁＝－(x－a₁)²＋a₁与x轴的交点为A₀(0，0)和A₁(b₁，0)，其他依此类推．

(1)求a₁，b₁的值及抛物线y₂的解析式；

(2)抛物线y₃的顶点坐标为(________，________)；

依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为(________，________)；

所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是________；

(3)探究下列结论：

①若用A_n－1A_n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n－1A_n；

②是否存在经过点A(2，0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

[答案]解：(1)∵y1＝―(x―a1)2＋a1与x轴交于点A0(0，0)， 　　∴―a12＋a1＝0，∴a1＝0或1． 　　由已知可知a1＞0， 　　∴a1＝1． 　　即y1＝―(x―1)2＋1 　　方法一：令y1＝0代入得：―(x―1)2＋1＝0， 　　∴x1＝0，x2＝2， 　　∴y1与x轴交于A0(0，0)，A1(2，0) 　　∴b1＝2， 　　方法二：∵y1＝―(x―a1)2＋a1与x轴交于点A0(0，0)， 　　∴―(b1―1)2＋1＝0，b1＝2或0，b1＝0(舍去)． 　　∴b1＝2． 　　又∵抛物线y2＝―(x―a2)2＋a2与x轴交于点A1(2，0)， 　　∴―(2―a2)2＋a2＝0， 　　∴a2＝1或4，∵a2＞a1，∴a2＝1(舍去)． 　　∴取a2＝4，抛物线y2＝―(x―4)2＋4． 　　(2)(9，9)； 　　(n2，n2) 　　y＝x． 　　详解如下： 　　∵抛物线y2＝―(x―4)2＋4令y2＝0代入得：―(x―4)2＋4＝0， 　　∴x1＝2，x2＝6． 　　∴y2与x轴交于点A1(2，0)，A2(6，0)． 　　又∵抛物线y3＝―(x―a3)2＋a3与x轴交于A2(6，0)， 　　∴―(6―a3)2＋a3＝0 　　∴a3＝4或9，∵a3＞a3，∴a3＝4(舍去)， 　　即a3＝9，∴抛物线y3的顶点坐标为(9，9)． 　　由抛物线y1的顶点坐标为(1，1)，y2的顶点坐标为(4，4)，y3的顶点坐标为(9，9)，依次类推抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)． 　　∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标， 　　∴顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x； 　　③∵A0(0，0)，A1(2，0)， 　　∴A0A1＝2． 　　又∵yn＝―(x―n2)2＋n2， 　　令yn＝0， 　　∴―(x―n2)2＋n2＝0， 　　即x1＝n2＋n，x2＝n2－n， 　　∴An－1(n2－n，0)，An(n2＋n，0)，即An－1An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n． 　　②存在．是平行于直线y＝x且过A1(2，0)的直线，其表达式为y＝x－2． 　　[考点解剖]本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数(符号意识)，数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界． 　　[解题思路](1)将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把(b1，0)代入y2，可求出a2，即得y2的解析式；(2)用同样的方法可求得a3、a4、a5……由此得到规律，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x；(3)由(2)可知得；最后一问我们会猜测这是与直线y＝x平行且过A(2，0)的一条直线，用特殊值法取得和，得所截得的线段长度为，换一组抛物线试试，求出的值也为(当然用字母来运算就是解得和，求得所截得的线段长度也为)． 　　[解答过程]略． 　　[方法规律]掌握基础(知识)，灵活运用(方法)，敢于动手，不畏艰难． 　　[关键词]二次函数　抛物线　规律探究