Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点的坐标：A（    ），B（    ），C（    ），D（    ），AD的中点E（    ）；
（2）求以E为顶点，对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
（4）△PEB的面积S_△PEB与△PBC的面积S_△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）A（0，1），B（0，﹣1），C（4，﹣1），D（4，1），E（2，1）；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）²+1，
∵抛物线经过点B（0，﹣1），
∴a（0﹣2）²+1=﹣1，解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）²+1，
经验证，抛物线y=﹣（x﹣2）²+1经过点C（4，﹣1）；
（3）直线BD的解析式为y=x﹣1，
解方程组
得点P的坐标：P（3，）；
（4）S_△PEB=S_△PBC，S_△PBC=×4×=3，
S_△PEB=×（1×2+1×1）=，
∴S_△PEB=S_△PBC．