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    如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，AP：PB=1：3，且PQ⊥PC，则PQ的长为________．


    分析：由条件可以求出AP、PB的长，然后利用三角形相似得线段比及勾股定理求出PQ的长．
    解答：解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
    ∴AB=BC=4，∠A=∠B=90°．
    ∵PQ⊥PC，
    ∴∠QPC=90°，
    ∴∠1+∠2=90°．
    ∵∠2+∠3=90°，
    ∴∠1=∠3，
    ∴△QAP∽△PBC．
    ∴，
    ∵AP：PB=1：3，
    设AP=x，则PB=3x．
    ∴x+3x=4，
    解得：x=1．
    ∴AP=1，PB=3，
    ∴由勾股定理得：PC=5，
    ∴，
    ∴PQ=．
    故答案为PQ=．
    点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理的运用．
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    如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分于点O，设AC=2a，BD=2b，请推导这个四边形的性质．（至少3条）
    （提示：平面图形的性质通常从它的边、内角、对角线、周长、面积等入手．）

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    如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
    （1）求证：PA=PC．
    （2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．

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    精英家教网如图，四边形ABCD，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求∠ADC的度数．

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    如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC=CE，求∠DAE的度数．

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    如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．

    （I）求证：AE=EF；
    （Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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