Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）含y的代数式表示AE；
（2）y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，x在什么范围时s随x增大而增大．x在什么范围时s随x增大而减小，并画出s与x图象；
（4）求出x为何值时，面积s最大．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF为矩形，
∵DE=x，DF=y，
∴DF=EC=y，
∵AC=8，
∴AE=8-y；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=8，
∴△DBF∽△ABC，
∴，
∴，
∴y=8-2x（0＜x＜4）；

（3）∵矩形DECF，
∴S=xy=x（8-2x）=-2x²+8x；
∴顶点坐标（2，8），与x轴的交点为（0，0），（4，0），
∴当0＜x≤2时，S随x的增大而增大；
  当2≤x＜4时，S随x的增大而减小，
∴函数图象为

（4）∵由（3）的结论可知：x=-=2，
∴当x=2时，面积S的值最大．
分析：（1）根据已知条件，结合矩形的性质，即可得出用y的代数式表示的AE；
（2）根据△DBF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出y与x之间的函数关系式，随即结合图形可得x的取值范围；
（3）根据矩形的面积公式，很容易得出面积S关于x的二次函数表达式，根据表达式即可求出二次函数图象的顶点坐标、与x轴的交点，很容易即可画出图象；
（4）根据（3）中求出的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时x的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，根据表达式画出图象后，即可求出结论．