Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，sinB=

5

7

，F是AB上一点，过点F作DF⊥AB于F，交BC于E，交AC延长线于D，连CF，若S_△BEF=4S_△CDE，CE=5．
（1）求AC的长；（2）求S_△CEF．

Answer 1

分析：（1）易得△BFE∽△DCE，根据面积之间的关系式可得到相应的相似比，利用CE长，那么可求得BE长，进而求得BC，利用sinB的值和勾股定理即可求得AC长；
（2）利用sinB可求得BF、FE，由于△CEF和△BEF同高，那么面积的比就等于底边的比．按此计算即可．

解答：解：（1）∵∠BFE=∠BCD=90°，∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCE
∵S_△BEF=4S_△CDE，
∴S_△BEF：S_△DEC=4：1
∴EF：EC=2：1
∵CE=5，
∴EF=10，
∵sinB=

5

7

，
∴BE=

70

5

，
∴BC=

95

5

设AC=5k，则AB=7k
∵AB²-AC²=BC²，
∴49k²-25k²=（

95

5

）²
解得k=

19 6

12

（负值舍去）
∴AC=5×

19

12

6

=

95 6

12

；

（2）∵sinB=

5

7

，BE=

70

5

EF=10；∴BF=4

6

S_△BFE=BF×EF÷2=20

6

∵BE：EC=

70

5

：5
∴S_△CEF=

50 6

7

．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识．