Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB上一动点．
（1）若△POA是等腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点P的坐标；
（2）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

解：（1）如图1，延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
要使△POA为等腰三角形．
①当OP=OA时，P的坐标为（0，2），与点B重合，不符合题意，
②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，
所以点P的坐标为（1，1），
③当AP=AO时，则AP=2，
过点作PH⊥OA交OA于点H，
在Rt△APH中，则PH=AH=，
∴OH=2-，
∴点P的坐标为（2-，）；
所以，若△POA为等腰三角形，则点P的坐标为（1，1），或（2-，）；

（2）如图2，当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，
则CK⊥OK．由点C的坐标为（-2，-2），
可得：CO=．
∵sin∠COK===，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一个值为45°-30°=15°；

（3）如图3，∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以，即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=，DO=，
∴st=4．
但PO过圆心C时，MO=CO=，PO=DO=，
即MO•PO=4，也满足st=4．
∴s=，
∵OP最小值为，当直线PO与⊙C相切时，∠POD=30°，
∴PO==，
∴t的取值范围是：≤t＜．
分析：（1）利用一次函数与坐标轴交点求法得出A，B坐标，进而利用①当OP=OA时，②当OP=PA时，③当AP=AO时分别得出P点坐标；
（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；
（3）根据已知得出△COM∽△POD，进而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s与t的关系，进而求出t的取值范围．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和切线的性质定理等知识，利用数形结合分类讨论思想得出是解题关键．