Question

如图所示，一个半径为的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是多少？

Answer 1

解：如图，
⊙O的半径为2，⊙C的半径为，点O在⊙C上，连OA，OB，OC，
∵OA=2，CA=CB=，即2²=（）²+（）²，
∴OA²=CA²+CB²，
∴△OCA为直角三角形，
∴∠AOC=45°，
同理可得∠BOC=45°，
∴∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴S_阴影部分=S_半圆AB-S_弓形AB=S_半圆AB-（S_扇形OAB-S_△OAB）=π×（）²-+×2×2=2．
分析：如图，连OA，OB，OC，由OA=2，CA=CB=，即2²=（）²+（）²，得到△OCA为直角三角形，则∠AOC=45°，同理可得∠BOC=45°，得到AB为⊙C的直径．所以S_阴影部分=S_半圆AB-S_弓形AB=S_半圆AB-（S_扇形OAB-S_△OAB），然后根据圆、扇形和三角形的面积公式进行计算即可得到阴影部分的面积．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了勾股定理以及90度的圆周角所对的弦为直径．