Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA₁与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．

Answer 1

解：（1）EA₁=FC．
证明：（证法一）∵AB=BC，
∴∠A=∠C．
由旋转可知，AB=BC₁，∠A=∠C₁，∠ABE=∠C₁BF，
∴△ABE≌△C₁BF．
∴BE=BF，又∵BA₁=BC，
∴BA₁-BE=BC-BF．即EA₁=FC．
（证法二）∵AB=BC，∴∠A=∠C．
由旋转可知，∠A₁=∠C，A₁B=CB，而∠EBC=∠FBA₁，
∴△A₁BF≌△CBE．
∴BE=BF，∴BA₁-BE=BC-BF，
即EA₁=FC．

（2）四边形BC₁DA是菱形．
证明：∵∠A₁=∠ABA₁=30°，
∴A₁C₁∥AB，同理AC∥BC₁．
∴四边形BC₁DA是平行四边形．
又∵AB=BC₁，
∴四边形BC₁DA是菱形．

（3）（解法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG=BG=1．
在Rt△AEG中，AE=．
由（2）知四边形BC₁DA是菱形，
∴AD=AB=2，
∴ED=AD-AE=2-．
（解法二）∵∠ABC=120°，∠ABE=30°，∴∠EBC=90°．
在Rt△EBC中，BE=BC•tanC=2×tan30°=．
∴EA₁=BA₁-BE=2-．
∵A₁C₁∥AB，
∴∠A₁DE=∠A．
∴∠A₁DE=∠A₁．
∴ED=EA₁=2-．
分析：（1）根据旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，从而得到全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明；
（2）在（1）的基础上，易发现该四边形的四条边相等，从而证明是菱形；
（3）根据菱形的性质和解直角三角形的知识以及等腰三角形的性质求解．
点评：本题主要考查旋转、全等三角形、特殊平行四边形、解直角三角形等知识．解决本题的关键是结合图形，大胆猜想．